2.1 导数与微分
一、导数与微分的基本概念
1. 函数在一点$x_{0}$处的导数定义
设函数$ y=f(x) $在点$x_{0}$的某邻域内有定义，当自变量$x$在$x_{x}$处取得增量$\bigtriangleup x$（点$x_{0}+\bigtriangleup x$仍然在该邻域内），相应地因变量取得增量$\bigtriangleup y = f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})$. 如果极限$$ \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})}{\bigtriangleup x}$$存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_{0}$处可导并称此极限值为函数$f(x)$在$x_{0}$处的导数（也成微商），记作$f’(x_{0})$，或$y’|_{x=x_{0}}, \frac{dy}{dx}|_{x=x_{0}}, \frac{df(x)}{dx}|_{x=x_{0}}$. 如果上面的极限不存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_{0}$处不可导。
$ y =f(x) $ 在 $ x=x_{0} $ 处可导
$$ \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup x}{\bigtriangleup y} \exists \to \frac{在一点处可导，则在该点处必连续}{几何意义：f’(x_{0})} $$
$$ \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \exists \iff f’(x_{0}) \exists \iff f’_{+}(x_{0}) = f’_{-}(x_{0}) $$
$$ f’(x)=\lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x} = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x_{0} + \bigtriangleup x)-f(x_{0})}{\bigtriangleup x}$$
2. 单侧导数
右导数：$$ f’_{+}(x) = \lim_{x \to x^{+}_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} = \lim_{x \to x^{+}_{0}} \frac{f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})}{\bigtriangleup x} $$
左导数：$$ f’_{-}(x) = \lim_{x \to x^{-}_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} = \lim_{x \to x^{-}_{0}} \frac{f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})}{\bigtriangleup x} $$
3. 可导的充要条件
$f(x)$在点$x_{0}$处可导 $\iff f(x)在点x_{0}$处左、右导数皆存在且相等。
4. 区间可导
如果函数$y=f(x)$在开区间 $(a,b)$ 内的每一点都可导，则称$f(x)$在$(a,b)$内可导。
如果$y=f(x)$在开区间内可导，在区间左端点$a$处右导数存在，在区间右端点$b$处左导数存在，则称$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上可导。
5. 高阶导数定义
若函数$y=f(x)$在导数$y’=f’(x)$在点$x_{0}$处仍是可导的，则把$y’=f’(x)$在点$x_{0}$处的导数成为$y=f(x)$在点$x_{0}$处的二阶导数，记作$y’’|_{x=x_{0}} $ 或 $f’’(X_{0})$ 或 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}|_{x=x_{0}}}$，也称$f(x)$在点$x_{0}$处二阶可导。类似的，$y=f(x)$的$n-1$阶导数的导数，成为$y=f(x)$的 $n$ 阶导数，记为$y^{(n)}$ 或 $f^{(n)}(x)$ 或 $\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$，这时也称函数 $y=f(x)$ $n$阶可导。
6. 导数的几何意义与物理意义
函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f’(x_{0})$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_{0},f(x_{0}))$处的切线的斜率。从而函数$y=f(x)$在点$(x_{0},f(x_{0}))$处的切线方程为：
$$y=f(x_{0}) = f’(x_{0})(x-x_{0})$$
法线方程为：
$$ y-f(x_0) = -\frac{1}{f’(x_{0})}(x-x_{0}) (f’(x_0) \ne 0) $$
注：导数概念是函数变化率概念的精确描述。任何变化率的极限问题都可以用导数来研究，比如物体作直线运动时，路程$S$与时间$t$的函数关系为$S=f(t)$，如果$f’(t_{0})$存在，则$f’(t_{0})$表示物体在时刻$t_{0}$时的瞬时速度。
7. 微分的定义
设函数$y=f(x)$在点$x_{0}$的某邻域内有定义（点$x_0$ 以及 $x_{0}+\bigtriangleup x$都在该领域内），如果函数增量$\bigtriangleup y = f(x_{0}+\bigtriangleup x) - f(x_{0})$ 可表示为$\bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x)$（$A\bigtriangleup x $部分被称为线性主部），其中$A$是不依赖于$\bigtriangleup x$的常数，则称函数$y=f(x)$在点$x_{0}$处可微，而$A\bigtriangleup x$称为函数$y=f(x)$在$x_{0}$处相应于自变量增量$\bigtriangleup x$的微分，记作$dy$ 即 $dy=A\bigtriangleup x$.
证明：$$\bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x) \iff \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} $$
可微 $\Rightarrow$ 可导
已知$$ \bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x)$$
从而$$\lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x} = A$$
可导 $\Rightarrow$ 可微
已知 $$\lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} = A$$
由极限与无穷小关系知，存在一个$\alpha (x)$，使得$\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} = A+\alpha (x) \Rightarrow \bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + \bigtriangleup x \alpha (x) $
$$又\because \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup x \alpha(x)}{\bigtriangleup x} = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \alpha(x) = 0$$
$$ 故：\bigtriangleup x \bullet \alpha(x) = o(\bigtriangleup x)$$
$$从而：\bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x)$$
$$即y=f(x)在x=x_{0}点处可微$$
注：一元函数可微与可导的关系
$f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可微 $\iff f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导且 $dy|_{x=x_{0}} = A(x_{0})\bigtriangleup x = f’(x_{0})dx$。
若$y=f(x)$ ，则 $dy=f’(x)dx$ 。导数 $f’(x)=\frac{dy}{dx}$ 也称为微商，就是微分之商的含义。易知 $dx=\bigtriangleup x$
8. 微分的几何意义
如果说$\bigtriangleup y = f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处相应于自变量增量 $\bigtriangleup x$ 的纵坐标 $f(x_{0})$ 的增量，那么微分$dy|_{x=x_{0}}$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $M_{0}(x_{0},f(x_{0}))$处切线的纵坐标相应的增量。
9. 一阶微分的形式不变性
若$y=f(u)$，则$dy=f’(u)du$，这里$u$不论是自变量还是中间变量微分形式都不变，即==函数的微分==等于函数对变量==求导==乘以==该变量的微分==。
题型
题型一 ：判断 $ f’(X_{0}) $ 是否存在（可导）
若极限组成为一点处可导的定义式
- 必须有该点处的函数值
- 左导 = 右导
题型二：求 $ f’(x_{0}) $
法一：定义法
法二：用导函数
- 直接带入
- 转定义
- 导函数极限存在定理：指可导函数与该点处函数值关系
补：导函数极限存在定理
$$ y=f(x) 在 x_{0}处连续 $$
$$ \lim_{x \to x_{0}} f’(x) \exists \Rightarrow f’(x_{0}) \exists 且 f’(x_{0})=\lim_{x \to x_{0}} f’(x) $$
$$ \lim_{x \to x_{0}} f’(x) \exists \Rightarrow f’_{+}(x_{0}) \exists 且 f’_{+}(x_{0})=\lim_{x \to x_{0}} f’(x) $$
$$ \lim_{x \to x_{0}} f’(x) \exists \Rightarrow f’_{-}(x_{0}) \exists 且 f’_{-}(x_{0})=\lim_{x \to x_{0}} f’(x) $$
题型三：已知可导，求相关极限（“凑”可导定义）
注：$ f - f $型，或推广为$ f - f + f - f $型
已知$f’(x_{0}) \exists$，则：
$$ \lim_{h \to 0} \frac{ f(x_{0} + ah) - f(x_{0} + bh) }{h} = \lim_{h \to 0} \frac {(x_{0}+ah) - (x_{0}+bh)}{h} \bullet f’(x_0) = (a-b)f’(x_{0})$$
题型四：会求切线（法线）
注：若切点未知，先求切点，再求切线。
注：证$(e^{x})’ = e^{x}$
$$ f’(x) = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x} $$
证：
$$ (e^{x})’ = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{e^{x+\bigtriangleup x}-e^{x}}{\bigtriangleup x} $$
$$ = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{e^{x}(e^{\bigtriangleup x}-1)}{\bigtriangleup x}$$
$$ = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{e^{x}(\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x}$$
$$ = e^{x} $$
二、导数与微分的计算
1. 常数与基本初等函数的求导公式
$$(C)’ = 0$$
$$ (x^{u})=ux^{u-1} $$
$$(sinx)’=cosx$$
$$(cosx)’=-sinx$$
$$(tanx)’=sec^{2}x$$
$$(cotx)’=-csc^{2}x$$
$$(secx)’=tanxsecx$$
$$(cscx)’=-cotxcscx$$
$$(a^{x})’=a^{x}lna(a>0,a \not= 1)$$
$$(e^{x})’=e^{x}$$
$$(log_{a}x)’=\frac{1}{xlna}(a>0,a \not= 1)$$
$$(lnx)’=\frac{1}{x} \Rightarrow [ln(-x)]’=\frac{1}{x} \Rightarrow [ln(|x|)]’=\frac{1}{x}$$
$$(arcsinx)’=\frac{1}{\sqrt[2]{1-x^{2}}}$$
$$(arccosx)’=-\frac{1}{\sqrt[2]{1-x^{2}}}$$
$$(arctanx)’=\frac{1}{1+x^{2}}$$
$$(arccotx)’=-\frac{1}{1+x^{2}}$$
注：
$$secx=\frac{1}{cosx}$$
$$cscx=\frac{1}{sinx}$$
2. 函数的和差积商的求导、微分法则
$$[f(x) \pm g(x)]’ = f’(x) \pm g’(x), d[f(x) \pm g(x)] = df(x) \pm dg(x).$$
$$[f(x) \bullet g(x)]’ = f’(x)g(x)+f(x)g’(x), d[f(x) \bullet g(x)] = g(x)df(x)+f(x)dg(x).$$
$$\begin{bmatrix} \frac{ f(x) }{ g(x) } \end{bmatrix}’ = \frac{ f’(x)g(x)-f(x)g’(x) }{ g^{2}(x) } , d\begin{bmatrix} \frac{ f(x) }{ g(x) } \end{bmatrix} = \frac{ g(x)df(x)-f(x)dg(x) }{ g^{2}(x) }$$
注：后“,”改前“d”，求导变微分。
3. 复合函数的导数（链式法则）
设$y=f(u)$，$u= \varphi (x)$，如果$\varphi (x)$在$x$处可导，$f(u)$在对应点$u$处可导，则复合函数$y=f[ \varphi (x)]$在$x$处可导，且有$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = f’[\varphi (x)]\varphi’ (x)$
注：${f[\varphi (x)]}’ \not= f’[\varphi (x)]$
注：复合函数求导法则：函数先对中间变量求导，中间变量对自变量求导。
4. 隐函数求导
设$y=y(x)$ 由方程 $F(x,y)=0$ 确定，求 $y’$ 的方法如下：
对$F(x,y)=0$ 两边关于自变量 $x$ 求导，注意此时 $y$ 是 $x$ 的函数，故应该当作是中间变量用复合函数求导法则计算，最后解出 $y’$ 的表达式（表达式中允许出现 $y$）。
方法总结
- 直接法
- 公式法
- 一阶微分形式不变性
5. 反函数求导
$y=f(x)$ 的反函数为 $x=g(y)$ ，两者皆可导，且 $f’(x) \not= 0$ 则 $$g’(y)= \frac{1}{f’(x)} = \frac{1}{f’[g(y)]},(f’(x) \not= 0)$$.
$$ \left. \frac{{\rm d}x}{{\rm d}y} \right| _{y=y_{0}=y(x_{0})} = \frac{1}{ \left. \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \right| _{x=x_{0}} } $$
注：反函数的一阶和二阶导公式为$x’= \frac{1}{y’}$ ，$x’’= \frac{-y’’}{y’^{2}}x’= \frac{-y’’}{y’^{3}}$.
考点：
- 一阶导公式会用
- 二阶导公式会证
证二阶导公式
$$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = \frac{d}{dy}(\frac{dx}{dy})$$
$$=\frac{d}{dy}(\frac{1}{\frac{dy}{dx}})$$
$$\frac{d}{dy}(\frac{1}{y’}) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{y’})\frac{dx}{dy}$$
$$=(-1) \bullet (y’)^{-2} \bullet y’’ \bullet \frac{1}{y’}$$
$$=-\frac{y’’}{y’^{3}}$$
注：微分是表达式
$$\left. dy \right| _{x=x_{0}} = y’(x_{0})dx$$
$$dy=y’(x)dx$$